Ejercicio 0
Los remaches de aluminio en la construcción de un avión
se fabrican mas grandes que el agujero donde van
colocados y se enfrían con hielo seco.
Si el diámetro del agujero es 4,5 mm,
¿Qué diámetro debe tener el remache a 23 °C,
para que su diámetro sea igual al del agujero a -78°C?.
Suponer el coeficiente de expansión lineal del aluminio como constante.
Desarrollo
\[
\Delta d = \alpha \cdot d_0 \cdot \Delta T
\]
Donde:
- \(\Delta d\) — cambio en la longitud (en metros, \(m\))
- \(\alpha\) — coeficiente de expansión térmica (en \(K^{-1}\))
- \(d_0\) — longitud inicial (en metros, \(m\))
- \(\Delta T\) — cambio en la temperatura (en kelvin, \(K\))
Datos del ejercicio:
-
\(d_0 = ?\)
-
\(d_1 = 4,5 \color{gray}[{mm}]\color{black}\)
-
\(T_0 = 23 \color{gray} [°C] \color{black}\)
-
\(T_1 = -78 \color{gray} [°C] \color{black}\)
-
\(\alpha = 2,4 \times 10^{-5} \color{gray} [°C^{-1} \text{ or } \frac{1}{°C}] \color{black}\)
\[
\Delta d = \alpha \cdot d_0 \cdot \Delta T
\]
\[
d_1 - \color{purple} d_0 \color{black} = \alpha \cdot \color{purple} d_0 \color{black} \cdot (T_1 - T_0)
\]
\[
\frac{d_1 - d_0}{d_0} = \alpha \cdot (T_1 - T_0)
\]
\[
\frac{d_1}{d_0} - \frac{d_0}{d_0} = \alpha \cdot (T_1 - T_0)
\]
\[
\frac{d_1}{d_0} - 1 = \alpha \cdot (T_1 - T_0)
\]
\[
\frac{d_1}{d_0} = \alpha \cdot (T_1 - T_0) + 1
\]
\[
\color{purple} \frac{1}{d_1} \color{black}
\frac{d_1}{d_0} = \left(\alpha \cdot (T_1 - T_0) + 1 \right)
\color{purple} \frac{1}{d_1} \color{black}
\]
\[
\frac{1}{d_0} = \frac{\alpha \cdot (T_1 - T_0) + 1}{d_1}
\]
\[
d_0 = \frac{d_1}{\alpha \cdot (T_1 - T_0) + 1}
\]
\[
d_0 = \frac
{4,5 \color{gray}[{mm}]\color{black}}
{
2,4 \times 10^{-5}
\color{gray} [\frac{1}{°C}] \color{black}
\cdot
(
- 78 \color{gray} [°C] \color{black}
-
23 \color{gray} [°C] \color{black}
)
+ 1
}
\]
\[
d_0 = \frac
{4,5 \color{gray}[{mm}]\color{black}}
{
2,4 \times 10^{-5}
\color{gray} [\frac{1}{°C}] \color{black}
\cdot
(- 101 \color{gray} [°C] \color{black})
+ 1
}
\]
\[
d_0 = \frac
{4,5 \color{gray}[{mm}]\color{black}}
{
-2,424 \times 10^{-3}
\color{gray} [\frac{°C}{°C}] \color{black}
+ 1
}
\]
\[
d_0 = \frac
{4,5 \color{gray}[{mm}]\color{black}}
{
-2,424 \times 10^{-3}
+ 1
}
\]
\[
d_0 = \frac
{4,5 \color{gray}[{mm}]\color{black}}
{0,997576}
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
d_0 = 4,5109 \color{gray}[{mm}]\color{black}
}
\]