Un sólido isotrópico es aquel cuyas propiedades físicas son iguales en todas las direcciones del espacio. Esto significa que, independientemente de la dirección en que se mida una propiedad (resistencia mecánica, conductividad térmica, expansión térmica, etc.), el valor obtenido es siempre el mismo.
El término proviene del griego: isos (igual) + tropos (dirección). Su opuesto es el sólido anisótropo, en el que las propiedades varían según la dirección de medición (por ejemplo, la madera o los cristales con estructura no cúbica).
Una de las consecuencias más importantes de la isotropía aparece en la dilatación térmica volumétrica. Para un sólido isotrópico, la expansión ante un aumento de temperatura \(\Delta T\) es idéntica en las tres dimensiones espaciales. Si \(\alpha\) es el coeficiente de dilatación lineal, entonces:
Dilatación lineal (en una dimensión)
\[\Delta L = \alpha \, L_0 \, \Delta T\]
Dilatación volumétrica
\[\Delta V = \beta \, V_0 \, \Delta T\]
donde \(\beta\) es el coeficiente de dilatación volumétrica. Como el sólido es isotrópico, las tres dimensiones se dilatan por igual, y se puede demostrar que:
\[\beta = 3\alpha\]
Considérese un cubo de lado \(L_0\). Tras un aumento \(\Delta T\), cada lado pasa a medir:
\[L = L_0 (1 + \alpha \, \Delta T)\]
El volumen final es:
\[V = L^3 = L_0^3 \,(1 + \alpha \, \Delta T)^3\]
Expandiendo y despreciando los términos de orden \(\alpha^2\) y \(\alpha^3\) (ya que \(\alpha \ll 1\) para la mayoría de los sólidos):
\[V \approx V_0 \,(1 + 3\alpha \, \Delta T)\]
Por lo tanto:
\[\Delta V = V - V_0 \approx 3\alpha \, V_0 \, \Delta T\]
Comparando con la definición \(\Delta V = \beta \, V_0 \, \Delta T\), se obtiene:
\[\boxed{\beta = 3\alpha}\]
Esta igualdad solo es válida para sólidos isotrópicos. Si el sólido fuera anisótropo, tendría coeficientes lineales distintos \(\alpha_x\), \(\alpha_y\), \(\alpha_z\) en cada dirección, y el coeficiente volumétrico sería \(\beta = \alpha_x + \alpha_y + \alpha_z\).