Ejercicio 53

Expansión Lineal y Esfuerzo Térmico — Barra de Acero

Recursos

Fórmulas

Barra de acero de \(1\text{ m}\) de longitud y sección de \(4\text{ cm}^2\) a \(20^\circ\text{C}\). Se eleva a \(60^\circ\text{C}\). Calcular:

Datos: \(\alpha = 11 \cdot 10^{-6}\text{ }^\circ\text{C}^{-1}\), \(Y = 200\text{ GPa}\).

1. Cálculo del Incremento de Longitud (\(\Delta L\))

Cuando un material sólido aumenta su temperatura, sus átomos vibran con mayor amplitud, lo que se traduce en un aumento de sus dimensiones. Para una barra, usamos la fórmula de dilatación lineal:

\[ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T \]

Donde:

\[ \Delta L = 1\text{ m} \cdot (11 \cdot 10^{-6}\text{ }^\circ\text{C}^{-1}) \cdot 40^\circ\text{C} \] \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} \Delta L = 4{,}4 \cdot 10^{-4} \color{gray} [\text{m}]\color{black} \; = \; 0{,}44 \color{gray} [\text{mm}]\color{black} \color{limegreen}} \]

2. Fuerza Necesaria para Impedir el Alargamiento (\(F\))

Para que la barra mantenga su longitud original a pesar del aumento de temperatura, debemos aplicar una fuerza de compresión que contrarreste exactamente la expansión térmica. Relacionamos la Ley de Hooke con el Módulo de Young (\(Y\)):

\[ \frac{F}{S} = Y \cdot \frac{\Delta L}{L_0} \]

Despejando \(F\) y sustituyendo \(\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T\) (con lo que \(L_0\) se cancela):

\[ F = Y \cdot S \cdot \alpha \cdot \Delta T \]

Conversión de unidades:

\[ F = (200 \cdot 10^9\text{ Pa}) \cdot (4 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2) \cdot (11 \cdot 10^{-6}\text{ }^\circ\text{C}^{-1}) \cdot 40^\circ\text{C} \] \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} F = 35.200 \color{gray} [\text{N}] \color{black} \color{limegreen}} \]

Esta es la fuerza que los soportes de la barra deberían ejercer para que no se mueva ni un solo milímetro.